一、二维抽样定理

1.1 函数的抽样

实际物理量、信号一般随时间或空间连续变化——模拟信号．

模拟信号的检测、记录、存储、处理和传递， 很难能用连续的方式进行． 连续变化的物理量(模拟信号)要用它的一些离散的抽样值(抽样信号)来表示．例如，如今广泛使用的CCD摄像机，在记录连续变化的图像时，每秒钟只记录30幅图像(时间抽样)，而且表达每幅图像所用的抽样点数由CCD靶面的像素数所限制(空间抽样)．

一维：

数学上：

二维：

Δx 和 Δy分别是x 和y方向上的抽样间隔，

1/Δx 和1/Δy分别是x 和y方向上的抽样频率．

利用梳状函数对连续函数f (x, y)抽样．

抽样函数的频谱为

函数在空间域被抽样，导致函数频谱在空间频域的周期性重复．

假定f (x, y) 是有限带宽函数，其频谱在空间频域的一个有限区域上不为零．

则只要

或者抽样间隔

中的各个频谱就不会出现混叠现象.

由抽样值还原原函数的条件:

(1) f (x ，y） 是限带函数．带宽为 2 Bx 和 2 By ；

(2) 在 x 和y方向抽样点最大允许间隔为1/ 2 By，1/2 Bx。其中1/ 2 By，1/2 Bx称为奈奎斯特(Nyquist)间隔．

奈奎斯特抽样定理表述为：一个有限带宽的函数,它没有频率在Bx和By以上的频谱分量，则该函数可以由一系列间隔小于1/ 2 By，1/2 Bx的抽样值唯一地确定.

1.2 函数的复原

滤波器

从中分离出(Fs 中n=m=0)，其表达式为

空域中有：

可得

若取最大允许的抽样间隔:

则

此即惠特克- 香农(Whittaker-Shannon)抽样定理．

函数复原有两个途径：

1) 频域滤波再 IFT，

2) 空域中以sinc函数内插迭加.

1.3 空间带宽积

若限带函数f (x, y)在频域中|ξ |

在该区域中函数可以用16XYBxBy个值近似表示.

定义: 空间带宽积SW (SBP)= 16XYBxBy

二、计算全息（CGH）

2.1 计算全息的理论基础

2.1.1 概述

全息的本质(或目的)是要记录和再现光波的全部信息, 包括振幅和相位.

光学全息是利用光学干涉的方法记录, 用光学衍射方法再现. 能否不利用实际光波干涉的方法来实现物光波波场的记录呢？

2.1.2 CGH的特点

1. 可记录物理上不存在的物体, 只要知道或虚拟出一个物光波的数学表达式即可. 可用于: 1) 制作复杂滤波器; 2) 显示虚拟的二维、三维物体; 3) 可产生所需要的光波波面, 用于干涉测量; 4) 激光扫描器；5) 数据存储.

2. 定量数字技术, 精度高. 特别是二元全息图, 抗干扰能力强、噪声小、易复制.

2.1.3 计算全息图的制作和再现过程主要步骤

① 抽样． ② 计算． ③ 编码．

④ 成图． ⑤ 再现

2.1.4 计算全息的抽样与信息容量

计算全息中必须考虑两个问题: 首先, 物函数经过抽样输入计算机进行计算和编码时, 抽样间隔应满足抽样定理的条件, 以避免出现频谱混叠; 其次, 再现过程应选择合适的空间滤波器, 这样才能恢复所需要的波前. 任何光学系统都具有有限大小的孔径光阑, 因此光学系统都只有有限大小的通频带, 超过极限频率的衍射波将被孔径光阑挡住, 不能参与成像, 原则上说光学系统是一个低通滤波器.

目视光学仪器中有一个视场光阑, 视场越大, 能够观察到的物体空间就越大, 进入光学系统的信息量越多.

光学图像在光学仪器中的传递受到两方面的限制: 一是孔径光阑挡掉了超过截止频率的高频信息; 二是视场光阑限制了视场以外的物空间.

信息量＝频带宽度×空间宽度

空间带宽积(SW): 通过光学信道信息量的量度.

空间带宽积是空间信号 在空间域和频率域中 f (x ,y) 所占的空间量度

如果图像在空域和频域中所占据的面积都是矩形, 其各边长为Δx, Δy, Δξ, Δη, 则有

空间带宽积更一般公式为:

SW不仅描述空间信号(图像、场分布)的信息量, 也可以表示成像系统、光学信息处理系统的信息量, 即传递信息的能力.

当图像(函数)在空间位移, 或产生频移时, SW不变. 放大、缩小时, SW也不变.若没有外部因素的影响, 物体的空间带宽积具有不变性。所以, 当图像信息经由系统传递或处理时, 为了不丢失信息, 系统的空间带宽积应大于图像的SW。

光学信息处理系统的信息通量 =通频带带宽积×视场空间宽度

其中, 通频带宽积由孔径光阑大小决定, 视场空间宽度由视场光阑决定.

2.1.5 时域信号和空域信号的调制解调

发送时, 要把一个连续时间信号发送出去, 除了要进行 抽样 外, 还要先对其进行调制(编码), 使之变成调制脉冲信号. 接收时, 把脉冲信号解调(解码)变成连续信号.

计算全息中各种编码方法借鉴了通信中相应的编码技术

常用的有三种脉冲调制方式: PAM: 脉冲幅度调制;PWM: 脉冲宽度调制;PPM: 脉冲位置调制

二元计算全息 (迂回相位编码方法)

2.2 计算全息的编码方法

2.2.1 计算全息的编码

在通信中, 编码是指把输入信息变换为信道上传送的信号.

对于CGH 输入信息是待记录的光波复振幅分布,中间的传输介质是CGH全息图,输出信息是用光学方法再现的光波场复振幅分布,信息特征是全息图上透过率的变化.

将二维光场复振幅分布(复值函数)变换为全息图的二维透过率函数分布的过程, 称为计算全息的编码.

编码过程可用算符表示为:

f(x, y): 是待记录的光波复振幅分布

C: 相应的编码算符, i表示不同的编码技术

: 全息图的透过率,一般为实值非负函数,受成图、显示技术和设备限制.

根据编码方法的不同, 可以分为不同类型的计算全息图: 罗曼迂回型计算全息图、修正型离轴参考光计算全息 、计算全息干涉图、相息图等 .

介绍两类典型的编码方法: 罗曼型迂回相位编码和修正离轴参考光编码, 都是将复值函数转换(变换)成实值非负函数的编码方法.

2.2.2 迂回相位编码方法

将光场复振幅分布的振幅和相位分别进行编码, 将一个复函数表示为两个实值非负函数.

用空间脉冲宽度(面积)调制和空间脉冲位置调制, 分别编码光场分布的振幅和相位.

迂回相位效应

规则光栅衍射: 由物理光学可知, 当用一个规则的固定周期的光栅来调制一列平面波时, 光栅后的各衍射级次的光波都是平面波, 只是传播方向不同(空间频率不同;在每一级衍射方向上, 垂直于该方向的平面波上具有相同的相位, 即等相位面是垂直衍射方向的平面.)

不规则光栅的衍射: 各级衍射光波不再是平面光波, 而是产生波面畸变; 在相应的不规则处, 将产生相位的延迟和超前.

设光栅某处栅距有一个误差量 ，则此处的栅距由d变为d+ ，栅距改变处衍射光波的光程差变为

该位置处由栅距误差造成的相位延迟为

罗曼称为迂回相位(Detour phase), 这种现象称为迂回相位效应.

迂回相位的值与入射波的倾角、波长无关, 但与栅距错位量成正比. 只要连续改变的大小, 就可在特定衍射级次上得到连续的相位变化.

由迂回相位效应可知: 通过局部改变光栅栅距, 可以在某个特定衍射方向上得到所需要的相位调制.

光栅“鬼线”: Grating Ghost Line

光栅作为一种分光元件, 常用于光谱仪器(光栅光谱仪、光栅单色仪等) 中, 用来研究物质、元素、太阳的光谱. 早期的光栅主要是用机械刻划的方法制作, 制作过程中难免会有栅距误差. 如果光栅制作的不够完好, 有栅距误差, 就会在光谱面上得到一些“鬼线”.

历史上用光栅光谱仪研究气体时, 常常发现在光谱中会出现一些“新的谱线“. 曾有人误认为发现了新的物质或原子, 但换用另一块光栅去做同样的光谱实验时, 这些“新的谱线”又不存在了, 或者在别的地方又出现了. 因此大为疑惑, 称之为“鬼线”. 直到瑞利发现了“鬼线”理论, 才弄清了这个现象.

罗曼正是受此现象启发, 又想到通讯中的PWM和 PPM, 称“鬼线”现象为“迂回相位效应”.并用之于CGH编码.“鬼线”对光谱分析是无用而有害的, 但对计算全息、相位调制来说, 却是所期望的, 正好可用来编码相位.

(1)罗曼型迂回相位编码方法

设全息图平面共有M × N个抽样单元, 抽样间距为 δx和δy, 则在全息图上待记录的光波复振幅的样点值是 :

其中

Amn是归一化振幅, 0<= Amn<=1

在全息图每个抽样单元内, 放置一个矩形通光孔径, 通过改变通光孔径的面积来编码振幅, 改变通光孔径中心与抽样单元中心的位置来编码相位.

通光孔径的宽度:

W W是一个常数

通光孔径的高度:

Lmn Lmn = Amn

通光孔径的中心位置:

在y方向上, 相当于PWM, 在 x方向上, 相当于PPM.每个抽样单元中的开孔尺寸和位置确定后, 可用计算机控制绘图设备产生CGH.

全息图的透过率只有0 和 1两个值, 制作简单, 噪声低, 抗干扰能力强, 对记录材料的非线性效应不敏感, 可多次复制, 不失真. CGH的再现与光学全息相似, 在 沿x方向的某个特定衍射级次得到再现物光波.

(2)四阶迂回相位法

在复平面上，可用四个基矢表示一个复矢量：

将全息图的一个单元沿x方向分为四等分, 各部分的相位分别是0, π/2, π, 3π/2, 与复数平面上实轴和虚轴所表示的四个方向相对应.

每一个抽样单元样点的值沿四个相位方向分解为四个正交分量:

f1, f2, f3 和 f4是实的非负数, 对某一个确定的抽样点, 其中最多只有两个为非0 值.

因此, 对一个抽样点的复振幅进行编码时, 只需要在其中的两个小单元中用开孔大小或灰度等级来表示就行了.

(3)三阶迂回相位法

在复平面上, 用三个基矢可表征平面上任一复矢量 :

Infor

f1, f2 和f3是实的非负数, 对某一个确定的抽样点, 最多只有两个为非0值. 将每一个单元沿x方向分为三等分,各部分的相位分别对应0, 2π/3, 4π/3. 在小单元中用开孔大小或灰度等级来表示振幅.

2.2.3 修正离轴参考光的编码方法

模拟光学离轴全息, 引入一个虚拟的参考光波与物光波干涉, 先对离轴全息图透过率函数进行修正, 再进行抽样编码. 避免了对相位编码, 但以增加抽样点为代价.

1 . 光学离轴全息图透过率函数

线性记录条件下, 全息图的振幅透过率:

第3项通过对余弦型条纹的振幅和相位调制, 记录了物波的全部信息.第 1 、 2项是偏置项, 它的作用是使t(x,y)为非负数.从全息再现、信息传递的角度来看, 除了占用信息通道外, 是多余的.在光学全息中, 第 1 、 2项是不可避免的.

2. 修正离轴全息图透过率函数

在模拟光学离轴全息制作CGH时, 为了最大限度地利用信道, 减少抽样点数, 可对光学离轴全息图透过率函数进行修正, 重新构造一个全息图透过率函数.

其中: (1) : (x,y)是归一化的物光波振幅， ,

(2) ½项: 保留偏置分量是为了保证修正后的 (x, y )为非负数，

(3) : 是修正后的载频.

3. 光学离轴全息图透过率函数与修正离轴全息图透过率函数的频谱结构比较

若不进行修正，直接对光学离轴全息函数(x,y) 抽样，满足 抽样定理，抽样函数(m,n)的频谱

修正后离轴全息函数(x,y)的频谱：

只需要

对修正后的离轴全息函数 进行抽样(x,y)满足抽样定理时，抽样函数(m,n)的频谱：

由以上分析知：

不修正时，要求：

抽样点数：

修正后，要求：

抽样点数：

修正后的抽样点数是不修正时的1/4, 所以, 在编码前先进行修正.

4. 修正离轴参考光编码方法

就是对修正后的全息图透过率函数直接进行编码. 修正后的全息透过率函数已是非负实函数, 且经过修正降低了抽样点数. 通过改变每个抽样单元内开孔的面积或直接改变抽样单元的灰度(透过率)即可.

5. 与对物光波直接进行编码的方法(如迂回相位编码方法)的比较:

对物光波直接进行编码的方法(如迂回相位编码方法)

编码

需对复数的模和幅角(振幅和相位)同时进行编码.

需要两个结构参数(面积、宽度或灰度,位置).

修正离轴参考光编码方法

编码

每个抽样点的值都是实非负值, 直接通过改变每个抽样单元内开孔的面积或直接改变抽样单元的灰度(透过率 )即可. 只用矩形开孔的一个结构参数即可. 避免了对相位的编码, 但以增加抽样点数为代价.